7  Chronologie & Math Basics

Teil 1: Datierung & radioaktiver Zerfall (7.1 - 7.5)
Als Einstieg in die Datierung und Chronologie ist es wichtig, sich grundsätzlich mit dem radioaktiven Zerfall zu beschäftigen. Schaue Dir dazu die Arten des radioaktiven Zerfalls an, wie der Zerfall verläuft, was die Zerfallskonstante/Halbwertszeit bedeutet, und wie der radioaktive Zerfall in Diagrammen dargestellt wird. Beschreibe die wichtigen Grundlagen des radioaktiven Zerfalls.
Lernziele
Beschreibe die verschiedenen Arten des radioaktiven Zerfalls. Beschreibe und erkläre den radioaktiven Zerfall sowie die radiogene Entwicklung. Setze die Zerfallskonstanten in Relation zur Halbwertszeit.

Teil 2: Die Isochronen-Gleichung und das Isochronen-Diagramm (7.6 - 7.9)
Zur Datierung verwendet man Isochronen-Diagramme, aus denen man mit Hilfe der Isochronen-Gleichung absolute oder relative Alter von Proben bestimmt, je nachdem, oben es sich um ein langlebiges oder ein kurzlebiges Zerfallssystem handelt. Die Isochronen-Gleichung kann direkt aus der Zerfallsgleichung abgeleitet werden. Beschäftige Dich mit dem Zusammenhang Zerfallsgleichung – Isochronen-Gleichung, und lerne den Unterschied zwischen langlebigem Zerfallssystem/absolute Datierung und kurzlebiges Zerfallssystem/relative Datierung. Beschreibe diese Grundlangen der Datierung.
Lernziele
Nenne die Zerfallsgleichung. Erkläre den Zusammenhang zwischen der Zerfalls-und Isochronen-Gleichung. Benenne den Diagramm-Typ des Isochronen-Diagramms. Erkläre und beschreibe den Unterschied zwischen langlebigem und kurzlebigem Zerfallssystem, bzw. -Diagramm.

Teil 3: Das Alter der Meteorite und planetarer Körper (7.10 - 7.11)
Die Chronologie der Ereignisse im frühen Sonnensystem wie etwa Chondrenbildung oder Akkretion und Differenzierung planetarer Körper kann über die Datierung von Objekten wie Meteoriten oder IDPs rekonstruiert werden. Verschiedene und entsprechend ausgewählter kurz- sowie langlebiger radioaktiver Isotopen-Systeme sind nötig, um diese Ereignisse zu rekonstruieren.
Lernziele
Nenne wichtige Zerfallssysteme um daraus die Chronologie des frühen Sonnensystems zu rekonstruieren. Beschreibe die Abfolge der Ereignisse im frühen Sonnensystem.

Bonus 1: Mathematische Grundlagen für Isotope und Datierung (7.12 - 7.15)
Für das Verständnis der Gleichungen für die Datierung und Chronologie sind wenige mathematische Grundlagen wichtig zu verstehen. Erkläre was Exponenten, Logarithmen, Differential-Gleichungen sind und wie diese funktionieren.
Lernziele
Nenne und verwende sicher Exponenten und Logarithmen. Erkläre was eine Differential-Gleichung ist. Setze die Funktion e^x in Bezug zu seiner Ableitung e^x.

Bonus 2: Extra-Auftritt: MoJo (7.16 - 7.26)
A. Morbidelli und S. Raymond führen durch diese Extra-Serie mit dem Titel: ›MOJO - Modeling the Origin of JOvian planets‹. Die Serie besteht aus 11 Teilen und diskutiert verschiedene Themen mit Bezug zur Bildung der Planeten, mit einem Fokus auf den Gasplaneten. Diese Serie ist nur in englischer Sprache verfügbar.
Die 11-teilige Serie findest Du hier.
Lernziele
Für Gast-Serien wie diese sind derzeit keine spezifisch Lernziele definiert. Fasse die wichtigen Aspekte dieser Serie zusammen und stelle diese dar.

7.1 Arten des Radioaktiven Zerfalls

Radioaktive Elemente zerfallen auf 3 hauptsächliche Arten: (i) Abgabe eines Positrons. Dabei wandelt sich ein Neutron in ein Proton um, d.h., der Nukleus gewinnt ein Proton, und wird zu einem Element mit einer um 1 höheren Ordnungszahl. Außerdem verliert er ein Neutron. (ii) Abgabe eines Elektrons. Dabei wandelt sich ein Proton in ein Neutron um, d.h., der Nukleus verliert ein Proton, und wird zu einem Element mit einer um 1 geringeren Ordnungszahl. Außerdem gewinnt er ein Neutron. (iii) Emission eines 4He Kerns. Es finden keine Umwandlungen statt, der Kern verliert jedoch 2 Protonen, und wird zu einem Element mit er um 2 geringeren Ordnungszahl. Zusätzlich verliert er zwei Neutronen. Es gibt noch zusätzliche, jedoch weitaus seltenere Zerfallsarten, z.B. spontane Spallation.

Beschreibe die Haupt-Arten des radioaktiven Zerfalls.

beta-: ein Elektron wird verloren, und ein Neutron wandelt sich in ein Proton um, d.h. ein chemisches Element mit einer +1 höheren Atom-Zahl wird gebildet; beta+: ein Positron wird verloren, und ein Proton wandelt sich in ein Neutron um, d.h. ein chemisches Element mit einer -1 geringeren Atom-Zahl wird gebildet; alpha: ein 4He Kern wird verloren, d.h. ein chemisches Element mit einer -2 geringeren Atom-Zahl wird gebildet.

Was sind wichtige Bereiche, für die es wichtig ist, die Arten des radioaktiven Zerfalls zu verstehen?

Um nukleosynthetische Prozesse zu verstehen. Um die Grundlangen der Chronologie zu verstehen.

Ein Positron ist praktisch dasselbe wie eine Elektron, nur mit positiver Ladung, d.h., das Positron ist das Anti-Teilchen des Elektrons.

✓Wahr

✗Falsch

Für den radioaktiven Zerfall spielt nur der Kern eine Rolle, die Elektronen-Hülle ist egal.

✓Wahr

✗Falsch

Beim alpha-Zerfall verliert ein Nukleus ein He-Atom.

✗Wahr

✓Falsch

7.2 Münzschüttel-Tisch – Veranschaulichung der Ab- und Zunahme Radioaktiver Elemente

Man kann sich den radioaktiven Zerfall wie einen Münzwurf vorstellen: Wenn 1000 Münzen geworfen werden, werden ca. die Hälfte Kopf, die andere Zahl zeigen. Angenommen die Münzen mit Zahl sind die zerfallenen radioaktive Elemente, dann können diese entfernt werden. Die verbleibeneden werden wieder neu geworfen. Wieder werden die Hälfte Kopf und die andere Zahl sein. Wieder werden die mit der Zahl entfernt, usw. Diese Abnahme entspricht dem Prinzip des radioakativen Zerfalls. Stellt man sich statt der Münzen Würfel mit n Seiten vor, und werden bei jedem Wurf nur die Würfel mit der Zahl 1 entfernt, so werden das bei jedem Wurf ca. 1/n Würfel sein, die entfernt werden, also entsprechend weniger als bei Münzen (außer n=2). Die Zahl der Seiten n der Würfel entspricht dann der Zerfallskonstanten.

Wie lässt sich zeigen, dass der radioaktive Zerfall ein statistischer Prozess ist?

Anhand eines Münz- oder Würfelwurfs. Nach einem Wurf, der rein statistisch ist, werden immer Münzen mit entweder Kopf oder Zahl, bzw. immer Würfel, die eine bestimmte Zahl zeigen, entfernt. Trägt man die verbliebenen Münzen/Würfel in einem Diagramm über die Anzahl der Würfe auf, ergibt sich exakt die exponentielle Kurve, die man vom radioaktiven Zerfall kennt. Damit lässt sich die statistische Natur des radioaktiven Zerfalls gut zeigen.

Was ist das Analog zur Zerfallskonstante im Münz/Würfel Modell für den radioaktiven Zerfall?

Der Kehrwert der Anzahl der Seiten die ein hypothetischer Würfel hat.

Nach ungefähr wie vielen Halbwertszeiten ist das radioaktive Mutter-Nuklid nahezu vollständig verschwunden?

✓10

✗20

✗50

✗100

Der Zuwachs des radiogenen Tochter-Nuklids beschreibt …

✓… eine Exponential-Kurve

✗… eine Sinus-Kurve

✗… eine lineare Kurve

✗… eine quadratische Kurve

Wie lange dauert es, bis 75% des Mutter-Nuklids zerfallen sind?

✗Eine halbe Halbwertszeit

✗Eine Halbwertszeit

✓Zwei Halbwertszeiten

✗Drei Halbwertszeiten

✗Etwa 10 Halbwertszeiten

7.3 Radiogene Entwicklung

Die radiogene Entwicklung unterscheidet sich zwischen Reservoiren abhängig von deren Verhältnisse des Mutter zu Tochter Isotops. Bei hohen Verhältnissen, erhält ein Reservoir hohe Mengen des Radiogenen Tochter-Nuklids und umgekehrt. Je später sich Reservoir separieren, desto geringer ist die Menge an radiogenem Tochter-Nuklid in einem Reservoir. Diese unterschiedliche Szenarien lassen sich im Entwicklungsdiagramm studieren.

Für was wird das radiogene Entwicklungs-Diagramm verwendet?

Um die radiogene Entwicklung verschiedener Reservoire zu untersuchen, welche sich zu einer bestimmten Zeit von einem gemeinsamen Mutter-Reservoir separiert haben.

Was ist der Unterschied zwischen Zerfalls- und Entwicklungs-Diagramm?

Es gibt keinen. Ein Entwicklungsdiagramm ist praktisch eine Zerfallsdiagramm, wobei nur der Zuwachs des Tochter-Nuklids gezeigt wird. Außerdem wird im Entwicklungsdiagramm das Tochter-Nuklid normalisiert dargestellt. Diese Normalisierung wird aus analytischen Gründen benötigt.

Im Entwicklungsdiagramm …

✗… ist die Isochrone eine Gerade mit einer bestimmten Steigung..

✓… ist die Isochrone eine vertikale Linie.

✗… kann die Isochrone nicht dargestellt werden.

✓… verbindet die Isochrone die Endpunkte aller Entwicklungslinien.

Reservoire, die sich von einem gemeinsamen Mutter-Reservoir separieren, durchlaufen verschiedene radiogene Entwicklungen, weil …

✓… deren Mutter/Tochter Isotopen-Verhältnisse unterschiedlich sind.

✗… diese unterschiedliche initiale Mengen des radioaktiven Mutter-Nuklids haben.

✗… diese unterschiedliche initiale Mengen des Tochter-Nuklids haben.

✗… die Geschwindigkeit des radioaktiven Zerfalls mit der Zeit zunimmt.

Die radiogenen Unterschiede zwischen Reservoiren sind … wenn sich die Reservoire früher von einem gemeinsamen Mutter-Reservoir separieren.

✓… größer …

✗… etwa gleich …

✗… kleiner …

7.4 Radioaktiver Zerfall Diagramm

Im einfachen Zerfallsplot wird der Zerfall des radioaktiven Mutternuklids, sowie die Zunahme des radiogenen Tochternuklids gegen die Zeit dargestellt. Die Zerfallsgleichung dafür lautet: e^(-lambda*t), wobei lambda die Zerfallskonstante ist, und t die Zeit.

Schreibe die Zerfallsgleichung auf.

N = N0e^(-lambdat), mit N: Menge des noch vorhandenen radioaktiven Elements N0: Initiale Menge des radioaktiven Elements e: Eulersche Zahl (2.71828) lambda: Zerfallskonstante t: Zeit

147Sm zerfällt zu 143Nd. Schreibe die Gleichung auf, um die Zunahme des Tochter-Isotops in einem Diagramm darzustellen.

N = N0-N0e^(-lambdat), mit N: Menge des noch vorhandenen radioaktiven Elements N0: Initiale Menge des radioaktiven Elements e: Eulersche Zahl (2.71828) lambda: Zerfallskonstante t: Zeit

Welches ist die korrekte Beziehung zwischen der Halbwertszeit (hwz) eines radioaktiven Isotopen und dessen Zerfallskonstante (lambda).

✓lambda = Ln(2)/hwz

✗lambda = Ln(2)*hwz

✗hwz = lambda/Ln(2)

✓hwz = Ln(2)/lambda

Die initiale Menge von 147Sm ist 4.4 kg. Am Schnittpunkt der 147Sm und 143Nd Evolutionslinien beträgt die Menge des 143Nd …

✓… 2.2 kg

✗… 1.1 kg

✗… 0.4 kg

✗… 4.4 kg

Die Einheit der Zerfallskonstante lautet …

✓… 1/s

✗… s

✓… 1/Ga

✗… Ga

7.5 Beziehung Zerfallskonstante <-> Halbwertszeit

Die Zerfallskonstante (lambda) ist mit der Halbwertszeit (hwz) über die Gleichung lambda = Ln(2)/hwzverknüpft. Die Beziehung lässt sich direkt aus der Zerfallsgleichung ableiten, wenn die verbleibende Menge des radioaktiven Mutter-Isotops 0.5 gesetzt, und die Gleichung nach der Zeit t gelöst wird.

Was bedeutet › Halbwertszeit‹?

Die Zeit nach der die halbe Menge des anfänglich vorhandenen radioaktiven Mutter-Nuklids zerfallen ist.

Wähle die korrekte Beziehung zwischen Halbwertszeit (hwz) und Zerfallskonstante (lambda).

✓lambda = Ln(2)/hwz

✓hwz = Ln(2)/lambda

✗lambda = Log(2)/hwz

✗hwz = Log(2)/lambda

Welches ist die korrekte Einheit der Zerfallskonstante?

✗s

✓1/s

✗a

✓1/a

7.6 Ableitung der Zerfallsgleichung

In jedem Zeitschritt zerfällt ein bestimmter Anteil der vorhandenen Mutter-Nukmide – N(t), mit N der Menge der vorhandenen Mutter-Nuklide und t der Zeit –, d.h., die Menge die zerfallen ist lautet: DN/Dt mit DN die Menge der Mutter-Nuklide die zerfallen sind und Dt dem Zeitintervalle in der diese zerfallen sind. Im nächsten Schritt ist die Menge vorhandener Mutter-Nuklide, d.h. N(t), entsprechend kleiner. Der Anteil der Mutter-Nuklide, der zerfällt bleibt jedoch gleich. Daher ergibt sich die Proportionalität: N(t) ~ DN/Dt. Der exakte Anteil der zerfallenden Mutter-Nuklide in jedem Zeitschritt hängt vom spezifischen Mutter-Nuklid ab. Dieser Anteil (lambda) wird mit DN/Dt multipliziert, somit lautet die Gleichung N(t) = lambda DN/Dt, wobei lambda die Zerfallskonstante ist. Diese Gleichung ist eine Differential-Gleichung, und lautet gelöst: N(t) = N0 e^(-lamda*t).

Beschreibe die grundlegende Proportionalität in der Zerfallsgleichung.

Die Menge eines Nuklids, die in einer bestimmten Zeit zerfällt ist proportional zur Menge der vorhandenen Nuklide.

Weshalb ist die Zerfallsgleichung eine Differential-Gleichung?

Die Rate, mit der Nuklide pro Zeiteinheit zerfallen hängt von der Menge der Nuklide pro Zeiteinheit ab. In diesem Aufbau ist die Rate der Nuklide, die pro Zeiteinheit zerfallen die Ableitung von der Menge der Nuklide, die pro Zeiteinheit vorhanden ist. Dieser Zusammenhang einer Ableitung einer Funktion zur Funkion selbst, wir Differential-Gleichung genannt.

Das N(t) in der Zerfallsgleichung beschreibt die Menge …

✓… des Mutter-Nuklids, das nach einer bestimmten Zeit noch übrig ist.

✗… des Mutter-Nuklids, das nach einer bestimmten Zeit zerfallen ist.

✗… des Tochter-Nuklids, das nach einer bestimmten Zeit produziert wurde.

Das ›lambda‹ stett in der Zerfallsgleichung die/das … dar.

✓… Zerfallskonstante

✗… Halbwertszeit

✗… Mutter-Nuklid

Wähle die richtige Zerfallsgleichung:

✗… N(t) = e^(-lambda*t)

✓… N(t) = N0 e^(-lambda*t)

✗… N(t) = e^(lambda*t)

✗… N(t) = N0 e^(lambda*t)

7.7 Ableitung der Isochronen-Gleichung

Der Isochronen-Plot ist ein Paramter-Plot. Der y-Wert der Zerfallsgleichung y = e^(-lambdat), mit lambda: Zerfallskonstanten und t: Zeit, wird entlang der x-Achse dargestellt., d.h. die Menge an verbleibendem Mutter-Nuklid wird entlang der x-Achse dargestellt. Der y-Wert der Zerfallsgleichung, jedoch für die Zunahme des Tochter-Isotoeps, also y = 1-e^{(-lambdat) wird entlang der y-Achse dargestellt., d.h. die Menge an zunehmendem Tochter-Nuklid wird entlang der y-Achse dargestellt. Das ist dann der Isochronen-Plot. Die Isochrone selbst ist die Verbindung der Entwicklungslinien im Parameter-Plot, wenn unterschiedliche Anfangsmengen des Mutter-Isotops dargestellt werden. Die Steigung der Isochrone ist dann y/x, d.h. m = (1-e^(-lambdat))/e}(-lambdat), bzw. m = e^(lambda*t)-1. Die Isochronen-Gleichung ist dann y = mx+b, wobei y das Mutter-Nuklid entlang der y-Achse ist, x das Mutter-Nuklid entlang der x-Achse, und b die Anfangsmenge des Tochter-Nuklids, da b den y-Achsenabschnitt darstellt.

Was ist entlang der Achsen des Isochronen-Plots aufgetragen?

Die Menge des Mutter-Nuklids ist entlang der x-Achse aufgetragen und nimmt mit der Zeit in Richtung geringerer Werte ab. Die Menge des Tochter-Nuklids ist entlang der y-Achse aufgetragen und nimmt mit der Zeit in Richtung höherer Werte zu. Die Nuklide werden außerdem als Verhältnisse angegeben, nicht als absolute Werte.

Welcher Parameter im Isochronen-Plot wird nicht dargestellt?

Die Zeit t. Mit der Zeit nimmt die Menge des Mutter-Nuklids ab, und die Menge des Tochter-Nuklids zu – gemeinsam entwickelt es sich nach oben links im Plot

Die Isochrone ist tatsächlich eine Kurve. Das kann man meist und aufgrund der langen Halbwertszeiten der radioaktiven Nuklide nicht erkennen.

✗Wahr

✓Falsch

Im Grunde wird entlang der Achsen des Isochronen-Plots die Zerfallsgleichung dargestellt.

✓Wahr

✗Falsch

Wähle die richtige Isochronen-Gleichung (M – Mutter-Isotopenverhältnis, T – Tochter-Isotopenverhältnis):

✗T = T0 + M * (1-e^(-lambda * t))

✗T = M0 + M * (e^(-lambda * t)-1)

✓T = T0 + M * (e^(lambda * t)-1)

✗T = M0 + M * (e^(lambda * t)-1)

7.8 Isochronen-Plot Langlebiger Zerfallssysteme

In langlebige Zerfallssystemen haben die Mutter-Nuklide Halbwertszeiten deutlich größer als 100 Ma. Ein Beispiel ist das 87Rb -> 87Sr System, mit einer langen Halbwertszeit von 48.1 Ga. Für ein Isochronen-Diagramm braucht es eine Anzahl von Komponenten, z.B. verschiedene Minerale, die unterschiedliche 87Rb/86Sr Verhältnisse, aber dieselben 87Sr/86Sr Verhältnisse haben. Ein Beispiel wäre eine Schmelze, in der diese Mineral zur etwa selben Zeit kristallisieren. 87Rb zerfällt dann zu 87Sr. Dabei sinkt das 87Rb/86Sr Verhältnis in den verschiedenen Mineralen, während deren 87Sr/86Sr Verhältnis ansteigt. D.h., die Zusammensetzungen der Minerale bewegen sich entlang von Linien mit negativer Steigung. Die Verbindung der Endpunkte dieser Linien definiert sodann die Isochrone. Die Steigung dieser Isochrone kann dann verwendet werden um zurück zu rechnen, wann die verschiedenen Minerale kristallisiert sind, d.h. wie alt das Gestein ist. Das Isochronen-Diagramm selbst ist ein Parameter-Plot.

Erkläre den grundlegenden Aufbau des langlebigen Isochronen-Diagramms.

Auf der x-Achse ist das radioaktive Mutter-Nuklid aufgetragen (z.B. 87Rb), und auf der y-Achse das zugehörige, radiogene Tochter-Nuklide (z.B. 87Sr). Diese beiden Nuklide werden auf ein und dasselbe stabile Nuklid des Tochter-Elements normalisiert (z.B. 86Sr). Damit ist auf der x-Achse beispielsweise das 87Rb/86Sr Verhältnis und auf der y-Achse das 87Sr/86Sr Verhältnis aufgetragen.

Wie verändert sich die Zusammensetzung einer Komponente – z.B. eines Minerals – im langlebigen Isochronen-Diagramm und über die Zeit.

Die verschiedenen Komponenten – z.B. Minerale – zeichnen sich durch unterschiedliche, initiale Verhältnisse entlang der x-Achse aus, also z.B. unterschiedliche 87Rb/86Sr Verhältnisse. Während des Zerfalls von 87Rb zu 87Sr verändert sich die Zusammensetzung der Komponente damit entlang der x-Achse zu geringeren 87Rb/86Sr Verhältnissen, und gleichzeitig entlang der y-Achse zu höheren 87Sr/86Sr Verhältnissen. In der Summe bewegt sich die Komponente entlang einer Geraden mit negativer Steigung.

Ab welcher Halbwertszeit – in etwa – sagt man, ein Zerfallssystem sei langlebig?

✗ca. 1 Ma

✗ca. 10 Ma

✓ca. 100 Ma

✗ca. 1000 Ma

Was für eine Plot-Typ ist das langlebige Isochronen-Diagramm?

✓Parameter-Plot

✗x-y-Plot

✗eine Funktion

✗Kategorien-Plot

Die Isochrone verbindet die Endpunkte aller Entwicklungs-Geraden mit unterschiedlichen, initialen 87Rb/86Sr Verhältnissen im Diagramm 87Sr/86Sr gegen 87Rb/86Sr.

✓Wahr

✗Falsch

7.9 Isochronen-Plot Kurzlebiger Zerfallssysteme

In kurzlebige Zerfallssystemen haben die Mutter-Nuklide Halbwertszeiten keiner etwa 100 Ma. Ein Beispiel ist das 182Hf -> 182W System, mit einer Halbwertszeit von 8.9 Ma. Für ein Isochronen-Diagramm braucht es eine Anzahl von Komponenten, z.B. verschiedene Minerale, die unterschiedliche 180Hf/184W Verhältnisse, aber dieselben 182W/184W Verhältnisse haben. Ein Beispiel wäre eine Schmelze, in der diese Mineral zur etwa selben Zeit kristallisieren. 182Hf zerfällt dann zu 87Sr. Das ändert natürlich nicht das 180Hf/184W Verhältnis in den verschiedenen Mineralen, allerdings steigt deren 182W/184W Verhältnis an. D.h., die Zusammensetzungen der Minerale bewegen sich entlang von Linien parallel zur y-Achse. Die Verbindung der Endpunkte dieser Linien definiert sodann die Isochrone. Die Steigung dieser Isochrone kann dann verwendet werden um zurück zu rechnen, wann die verschiedenen Minerale kristallisiert sind, d.h. wie alt das Gestein ist – aber nur, und das ist wichtig anzumerken, relativ zu einem anderen Gestein, dessen Isochrone ebenfalls bestimmt wurde.

Erkläre den grundlegenden Aufbau des kurzlebigen Isochronen-Diagramms.

Auf der x-Achse ist ein stabiles Nuklid (z.B. 180Hf) des kurzlebigen, radioaktiven Mutter-Elements aufgetragen, und auf der y-Achse das radiogene Tochter-Nuklid (z.B. 182W) des eigentlichen, radioaktiven Mutternuklids (im Bsp. also 182Hf). Diese Nuklide werden auf ein und dasselbe stabile Nuklid des Tochter-Elements normalisiert (z.B. 184W). Damit ist auf der x-Achse beispielsweise das 180Hf/184W Verhältnis und auf der y-Achse das 182W/184W Verhältnis aufgetragen.

Wie verändert sich die Zusammensetzung einer Komponente – z.B. eines Minerals – im kurzlebigen Isochronen-Diagramm und über die Zeit.

Die verschiedenen Komponenten – z.B. Minerale – zeichnen sich durch unterschiedliche, initiale Verhältnisse entlang der x-Achse aus, also z.B. unterschiedliche 180Hf/184W Verhältnisse. Während des Zerfalls von 182Hf zu 184W hat sich zwar seinerzeit das 182Hf/184W Verhältnis verändert. Da jedoch kein 182Hf mehr vorhanden ist, wird deshalb 180Hf/184W auf der x-Achse abgetragen. Da 180Hf stabil ist, bleibt das 180Hf/184W Verhältnis auf der x-Achse konstant. Jedoch verändert sich das 182W/184W Verhältnis entlang der y-Achse zu höheren Verhältnissen. In der Summe bewegt sich damit eine Komponente entlang einer vertikalen Geraden nach oben.

Bis zu welcher Halbwertszeit – in etwa – sagt man, ein Zerfallssystem sei kurzlebig?

✗ca. 0,1 Ma

✗ca. 1 Ma

✗ca. 10 Ma

✓ca. 100 Ma

Wie lässt sich das Alter eines Objekts im kurzlebigen Isochronen-Diagramm bestimmen?

✗Aus der Isochronen-Steigung eines Objekts.

✗Aus der Differenz der Isochronen-Steigungen mindestens dreier Objekte.

✗Aus der Differenz der 182W/184W Verhältnisse zweier Objekte.

✓Aus der Differenz der Isochronen-Steigungen zweier Objekte.

Die Isochrone verbindet die Endpunkte aller Entwicklungs-Geraden mit unterschiedlichen, initialen 180Hf/184W Verhältnissen im Diagramm 182W/184W gegen 182Hf/184W.

✗Wahr

✓Falsch

7.10 Chronologie der Ereignisse im frühen Sonnensystem

Eine knappe Chronologie der Hauptereignisse im frühen Sonnensystem zeigt dass der Startpunkt (t0 – t Null) mit der Bildung der CAIs definiert wird. Die Eisen-Meteorit Mutterkörper bildeten sich in der ersten Millionen Jahre. Danach bilden sich Chondren und Matrix während etwa 2-5 Ma nach t0. Diese akkretieren anschließend in die Chondrit-Mutterkörper, etwa 3-7 Ma nach t0. Darauf folgt die Bildung der Erde, Mond und der anderen, terrestrischen Planeten während einiger zehner Millionen Jahre nach CAI-Bildung. Jupiter und die anderen Gasplaneten bildeten sich wahrscheinlich schon früher, bei etwa 5 Ma.

7.11 Auswahl geeigneter Zerfallssysteme für die Alterdatierung

Variationen im 183/184W Verhältnis repräsentieren nukleosynthetische Anomalien, die durch variable Zumischung präsolaren Materials entstanden. Die Gesamtzusammensetzung verschiedener planetarer Körper haben identische 183/184W Verhältnisse. Dagegen haben

7.12 Grundlegende Exponential und Logarithmus Gesetze

Es ist hilfreich eine paar wenige, fundamentale Exponential/Logarithmus-Gesetze zu kennen, um ein paar der Gleichungen zu verstehen, die im Zusammenhang mit Isotopen verwendet werden. Die hauptsächlichen dieser Gesetzte werden hier in ihrem Kontext rekapituliert.

Die zwei Fraktionierungsfaktoren alpha12 and alpha23 werden häufig verwendet um Fraktionierungsbeziehungen dreier Isotope eines Elements (wobei 1,2,3 die drei Isotope sind) darzustellen. Der Zusammenhang zwischen den beiden Fraktionierungsfaktoren wird oft in der Form Ln(alpha12)/Ln(alpha23) = beta geschrieben. Schreibe diesen Zusammenhang ohne den Ln.

Ln(alpha12)/Ln(alpha23) = beta -> Ln(alpha12) = beta * Ln(alpha23) -> Ln(alpha12) = Ln(alpha23^beta) -> e^Ln(alpha12) = e^Ln(alpha23beta) -> alpha12 = e^alpha23beta

Was dasselbe wie b^n * b^m?

✓b^(n+m)

✗(bⁿ⁾m

✗m * b^n

Was dasselbe wie b^-m?

✗1/b^-n

✓1/b^n

✗1/-b^n

Was dasselbe wie Log(x^n)?

✗x* Log(n)

✗Log(x)+n

✓n* Log(x)

Was dasselbe wie Log(x/y)?

✗Log(x)+Log(y)

✓Log(x)-Log(y)

✗Log(y)+Log(x)

7.13 Warum die Ableitung von e^(x) wieder e^(x) ist

Die Ableitung von e^(x) ist ebenfalls e^(x). Die Funktion e^(x) ist eine Exponential-Funktion mit einer bestimmten Zahl (e) als Basis. Die allgemeine Exponential-Function lautet: y = a^x. Wenn die Basis a groß ist, ist y’ für alle x immer größer als y. Wenn die Basis a klein ist, ist y’ für alle x immer kleiner als y. Nun existiert eine Grenzzahl für die Basis a, bei der y’ für alle x immer gleich y ist. Diese Grenzzahl ist e. Und wenn y’ für alle x immer gleich y ist, ist eben y’ = y, also eben die Ableitung von e^(x) ebenfalls e^(x)

7.14 Was ist eine Differential-Gleichung?

Eine Differential-Gleichung enthält eine Funktion und die Ableitung dieser Funktion in derselben Gleichung, z.B. y - y’ = 0. Da die Ableitung von e^x wieder e^x ist, wird die Funktion e^x verwendet um Differential-Gleichungen zu lösen.

Was ist eine Differential-Gleichung?

Jede Gleichung, in der eine Funktion und die Ableitung dieser Funktion gemeinsam auftreten.

Schreibe eine formalisierte Art der Differential-Gleichung auf.

f(x) = f’(x), y = y’

Welches sind Differential-Gleichungen (e ist die Eulersche Zahl)?

✓g(x) = g’(x) + f(x)

✓Sin(x) = d(Sin(x))

✓Sin(x) = Cos(x)

✓e(x) = e(x)

✓e(x) = e’(x)

✓f(x) - f’(x) = 0

Die Ableitung von ex ist wieder ex (e being Eulersche Zahl).

✗Wahr

✓Falsch

Der Wert der Eulersche Zahl ist in etwa …

✗… 1,414

✓… 2,718

✗… 3,141

7.15 Lösen von (Differential)Gleichungen

Gewöhnliche, sowie Differential-Gleichungen werden am Besten und Schnellsten mit einer Mathematik-Software gelöst. Um die Wurzel einer Zahl zu berechnen verwendet man einen Taschenrechner, für das Lösen von Gleichungen entsprechend eine Mathematik-Software. Das ist hier gezeigt.