14  Bonus-Material

Teil 1: Darstellung der Elemente und deren Zusammensetzungen (1 - 2)
Die Element-Zusammensetzung von Meteoriten und der Komponenten wird auf unterschiedliche Weise dargestellt und bestimmt. Lerne und verstehe, wie zwei der häufigsten Techniken funktionieren: Normierung und Modale Rekombination.
Lernziele
Wende die Normierung von sicher an, um zB die Element-Zusammensetzungen von Gesamt-Meteoriten in Kategorien-Diagrammen darzustellen. Wende die modale Rekombination sicher an, um zB die Gesamt-Element-Zusammensetzung von Chondren zu berechnen.

Teil 2: Darstellung der Isotope und deren Zusammensetzungen (3 - 6)
Die Isotopen-Zusammensetzung eines Meteoriten, Minerals, etc. wird anders angegeben als deren chemische Element-Zusammensetzung. Das hängt unter anderem damit zusammen, dass das Verhältnis zweier Isotope unabhängig ist von der Häufigkeit möglicher weiterer Isotope desselben Elements (aus demselben Grund wird die Elementzusammensetzung normiert). Es gibt dafür aber auch eine analytische Notwendigkeit. Lerne und erkläre wie Isotope notiert werden und warum diese Art der Notation gewählt wurde.
Lernziele
Explain why isotopes are presented as ratios and not absolute values. Give arguments why isotope ratios are presented relative to a standard. Confident usage and explanation of the various stable and radioactive isotope notations. Explain the approximation a-1 = Ln(a).

Teil 1: Mathematische Grundlagen für Isotope und Datierung (7 - 10)
Für das Verständnis der Gleichungen für die Datierung und Chronologie sind wenige mathematische Grundlagen wichtig zu verstehen. Erkläre was Exponenten, Logarithmen, Differential-Gleichungen sind und wie diese funktionieren.
Lernziele
Nenne und verwende sicher Exponenten und Logarithmen. Erkläre was eine Differential-Gleichung ist. Setze die Funktion e^x in Bezug zu seiner Ableitung e^x.

Teil 2: Extra-Auftritt: MoJo (11 - 21)
A. Morbidelli und S. Raymond führen durch diese Extra-Serie mit dem Titel: ›MOJO - Modeling the Origin of JOvian planets‹. Die Serie besteht aus 11 Teilen und diskutiert verschiedene Themen mit Bezug zur Bildung der Planeten, mit einem Fokus auf den Gasplaneten. Diese Serie ist nur in englischer Sprache verfügbar.
Die 11-teilige Serie findest Du hier.
Lernziele
Für Gast-Serien wie diese sind derzeit keine spezifisch Lernziele definiert. Fasse die wichtigen Aspekte dieser Serie zusammen und stelle diese dar.

14.1 Element-Normierung

Normierung heißt, dass eine Verhältnis gebildet wird von Mess-Daten, die durch Standard-Daten geteilt werden, z.B. die CI Chondrit-Zusammensetzung. As ist eine einfache Normierung. In einer doppelten Normierung werden zwei Verhältnisse berechnet: begonnen wird mit einer einfache Normierung. Dann wird das Ergebnis durch z.B. ein Element geteilt, d.h. durch das normierte Ergebnis für dieses Element aus dem ersten Schritt. Typische doppelte Normierung sind: ›normiert auf CI und Mg‹, aber auch ›Ca/Al Verhältnisse normiert auf Mg‹, bzw. ›Ca/Al/Mg‹. Es ist zwingend anzugeben, was für Einheiten die Daten hatten, welche für die Normierung verwendet wurden, z.B. Gew% oder Atom%. Da die Normierung immer ein Verhältnis ist, wird also angegeben z.B. Massen-Verhältnis oder Atom-Verhältnis.

Es ist die einfache Division der Element-Konzentration(en) in einer Probe durch die Element-Konzentration(en) in einem Standard (z.B. CI Chondrite).

Das sind zwei einfache Divisionen. Zunächst wird/werden die Element-Konzentration(en) in einer Probe durch die Element-Konzentration(en) in einem Standard (z.B. CI Chondrite) geteilt. Als nächsten werden alle Element-Konzentration(en) in der Probe, aber auch im Standard durch die Element-Konzentration eines Elements (z.B. Mg) der Probe, bzw. des Standards geteilt. Der erste und zweite Schritt können vertauscht werden.

✓Probe normalisiert auf CI und Mg (mass-ratio)

✓Probe/CI/Mg (mass-ratio)

✗CI/Probe/Mg (mass-ratio)

✗Wahr

✓Falsch

✗Wahr

✓Falsch

14.2 Modale Rekombination mit Dichte-Korrektur

Werden in einem Meteoriten-Schliff die Anteile der einzelnen Phasen, sowie deren Zusammensetzung gemessen, kann daraus über modale Rekombination die Element- oder Isotopen-Gesamtzusammensetzung z.B. einer bestimmten Komponente – etwa von Chodnren oder CAIs – bestimmt werden. Dazu muss auch die Dichte der unterschiedlichen Phasen berücksichtigt werden, d.h. es muss für die unterschiedlichen Dichten der verschiedenen Phasen korrigiert werden. Diese Methode wird auch für Massen-Bilanzen verwendet

Die absolute oder relative Menge eines Minerals in z.B. einer Chondre oder in einem Dünnschliff. Die absolute Menge könnte z.B. die Anzahl der Pixel sein die eine Mineral abdeckt. Die relative Menge ist die absolute Menge eines Minerals dividiert durch die gesamte Menge, z.B. all Pixel.

Dichte bedeutet die Anzahl von Atomen in einem bestimmten Volumen. Ein Mineral mit einer höheren Dichte bedeutet daher mehr Atome pro Volumen. Die Element-Konzentration eines Minerals sagt nur wie der Anteil eines Elements im Mineral ist. Z.B. könnten zwei Mineral dieselbe Menge an Mg von z.B. 20 Gew% enthalten. Das ist aber nur eine relative, und kein absolute Aussage. Ist das eine Mineral doppelte so dicht wie das andere, heißt das, es enthält die doppelte Menge an Atomen pro Volumen. Deshalb trägt diese Mineral die doppelte Menge an z.B. Mg bei als das andere Mineral. Dafür muss korrigiert werden, wenn eine Gesamtzusammensetzung berechnet wird, und das ist es, was Dichte-Korrektur meint.

✓Wahr

✗Falsch

✓Wahr

✗Falsch

✗c_Element = Summe((c * d * X)/(d * X))

✗c_Element = Summe(c * d * X)/(d * X)

✓c_Element = Summe(c * d * X)/Summe(d * X)

14.3 Isotopen Notation

Isotope werden in Verhältnissen angegeben, um sie vergleichen zu können. Die verbreitetste Notation lautet: delta=((Rsmp/Rstd)-1)*1000, mit Rsmp als ein Isotopen-Verhältnis in einer Probe und Rstd als ein Isotopen-Verhältnis im Standard.

Isotope werden nicht als Verhältnisse gemessen. Vielmehr wird jedes Isotope einzeln gemessen, und das Verhältnis anschließend berechnet. Isotope werden als Verhältnisse dargestellt, da Absolutkonzentration äußerst unpraktisch sind, und nicht direkt vergleichbar. Die absolute Isotopen-Konzentration einer Probe hängt nicht nur von den relativen Konzentrationen der verschiedenen Isotope eines Elements ab. Die absolute Isotopen-Konzentration einer Probe hängt auch von der Konzentration des dazugehörigen Elements ab. Für einen sinnvollen Vergleich absoluter Isotopen-Konzentration müsste man daher auch die Konzentration des dazugehörigen Elements wissen. Und selbst wenn das der Fall wäre, würde diese einen zusätzlichen Fehler der Element-Konzentrationsmessung mit sich bringen. Im Kontrast dazu ist das Isotopen-Verhältnis einer Probe unabhängig von der dazugehörigen Element-Konzentration. Daher macht es Sinn Isotopen-Zusammensetzung als Verhältnisse anzugeben.

Wenn Probe und Standard identische Zusammensetzungen haben und durcheinander geteilt werden, ist das Ergebnis 1. Wenn wir jedoch intuitiv Dinge vergleichen zwischen denen es keinen Unterschied gibt, denken wir so etwas wie ›es gibt Null Unterschied zwischen dem was ich vergleiche‹. Um das widerzuspiegeln wird 1 abgezogen, d.h., wenn Probe und Standard identisch sind, ist die Isotopen-Zusammensetzung der Probe 0.

Groß-Delta bezeichnet letztlich den y-Achsenabschnitt einer parallel zu einer Referenz-Fraktionierungslinie (z.B. der TFL).

Das schwerere Isotope. Im Sauerstoff 3-Isotopen-Plot ist z.B. deltaO18/16 entlang der x- und deltaO17/16 entlang der y-Achse dargestellt.

✓+1.34 ‰

✗2.21 ‰

✓+0.47

✓-3.76 ‰

✓-1.34 ppm

✗5.19 ‰

✓Wahr

✗Falsch

✗delta56Fe

✓delta88/86Sr

✗epsilon54Cr

✗Wahr

✓Falsch

✓positives

✗negatives

14.4 Die Näherung a-1 = Ln(a)

Diese Näherung kann verwendet werden, wenn die Werte nahe 0 oder 1 sind, je nachdem wie die Näherung formuliert wird. Diese Näherung wird im Zusammenhang mit z.B. Isotopen-Variationen oder Fraktionierungsfaktoren verwendet, die jeweils Werte sehr Nahe entweder 0 oder 1 haben.

14.5 Isotopen Notation – Groß Delta

Groß-Delta bezeichnet den Abstand einer Probe von einer Referenz-Fraktionierungslinie in einem 3-Isotopenplot, z.B. von der terrestrischen Fraktionierungslinie. Mehrere Proben mit demselben Groß-Delta plotten dann entlang einer Linie parallel zu einer Referenz-Fraktionierungslinie – die eben den Abstand groß-Delta von der Referenz-Fraktionierungslinie hat.

Groß-Delta bezeichnet letztlich den y-Achsenabschnitt einer parallel zu einer Referenz-Fraktionierungslinie (z.B. der TFL).

Das schwerere Isotope. Im Sauerstoff 3-Isotopen-Plot ist z.B. deltaO18/16 entlang der x- und deltaO17/16 entlang der y-Achse dargestellt.

✗Wahr

✓Falsch

✓positives

✗negatives

✗capitalDelta = deltaO18/16 + 0.522 deltaO17/16

✗capitalDelta = deltaO17/16 - 0.522 deltaO17/16

✓capitalDelta = deltaO17/16 - 0.522 deltaO18/16

14.6 Isotopen Notation Radioaktiver Isotope

Isotopen-Zusammensetzungen werden relativ zu einer Referenz Isotopen-Zusammensetzung angegeben. Als Referenz werden of die Erde oder CI Chondrite verwendet. Wenn das betrachtete Isotop Teil eines radioaktiven Zerfallssystem ist, bleibt dessen Zusammensetzung nicht konstant, sondern verändert sich über die Zeit. Das ist unproblematisch für gemessene Proben, deren Zusammensetzung schlicht relativ zur heutigen Zusammensetzung des Referenz-Isotops berechnet werden. Diese Veränderung muss jedoch betrachtet werden, wenn die Entwicklung eines Reservoirs modelliert wird. In diesem Fall wird die Isotopen-Zusammensetzung der Probe immer relativ zur Isotopen-Zusammensetzung des Referenz-Isotops zu einer bestimmten Zeit berechnet. Diese Notation radioaktiver Isotope ist auch der Grund, weshalb der Wert des Referenz-Referenz-Isotops selbst immer 0 ist.

Das radiogene Isotopen-Verhältnis einer Probe besteht aus dem radiogenen Isotop (isoRadio) geteilt durch ein stabiles Isotop (isoStab). Beide Isotope gehören zum selben Element. Dieses untersuchte Isotopen-Verhältnis wird durch einen Standard geteilt der aus demselben isoRadio und isoStab besteht. Das heißt, dieses Standard Isotopen-Verhältnis verändert sich auch über die Zeit. Um die Isotopen-Notation auszurechnen wird nun das Isotopen-Verhältnis der Probe durch das Isotopen-Verhältnis des Standards zur der Zeit berechnet, an der die Probe entstand. Das bedeutet, das Alter der Probe muss bekannt sein, und dieses Alter wird dan verwendet, um das Isotopen-Verhältnis des Standards zu berechnen. Für diese Rechnung wird das initiale, solar Isotopen-Verhältnis verwendet, und dann berechnet, wie viel noch hinzukommt, bis das Alter der untersuchten Probe erreicht ist.

Schlicht da die Isotopen-Notation eines Standards immer 0 ist, da dabei der Standard durch den Standard geteilt wird. In einem radioaktiven System nimmt das radiogene Isotopen-Verhältnis mit der Zeit zu, jedoch wird zu jeder Zeit das weiter erhöhte Isotopen-Verhältnis durch genau das weiter erhöhte Isotopen-Verhältnis geteilt, sodass sich immer 0 für die Isotopen-Notation ergibt.

✗Mutter

✓Tochter

✓Wahr

✗Falsch

✗Wahr

✓Falsch

14.7 Grundlegende Exponential und Logarithmus Gesetze

Es ist hilfreich eine paar wenige, fundamentale Exponential/Logarithmus-Gesetze zu kennen, um ein paar der Gleichungen zu verstehen, die im Zusammenhang mit Isotopen verwendet werden. Die hauptsächlichen dieser Gesetzte werden hier in ihrem Kontext rekapituliert.

Ln(alpha12)/Ln(alpha23) = beta -> Ln(alpha12) = beta * Ln(alpha23) -> Ln(alpha12) = Ln(alpha23^beta) -> e^Ln(alpha12) = eLn(alpha23beta) -> alpha12 = ealpha23beta

✓b^(n+m)

✗(bn)m

✗m * b^n

✗1/b^-n

✓1/b^n

✗1/-b^n

✗x* Log(n)

✗Log(x)+n

✓n* Log(x)

✗Log(x)+Log(y)

✓Log(x)-Log(y)

✗Log(y)+Log(x)

14.8 Warum die Ableitung von e^(x) wieder e^(x) ist

Die Ableitung von e^(x) ist ebenfalls e^(x). Die Funktion e^(x) ist eine Exponential-Funktion mit einer bestimmten Zahl (e) als Basis. Die allgemeine Exponential-Function lautet: y = a^x. Wenn die Basis a groß ist, ist y’ für alle x immer größer als y. Wenn die Basis a klein ist, ist y’ für alle x immer kleiner als y. Nun existiert eine Grenzzahl für die Basis a, bei der y’ für alle x immer gleich y ist. Diese Grenzzahl ist e. Und wenn y’ für alle x immer gleich y ist, ist eben y’ = y, also eben die Ableitung von e^(x) ebenfalls e^(x)

14.9 Was ist eine Differential-Gleichung?

Eine Differential-Gleichung enthält eine Funktion und die Ableitung dieser Funktion in derselben Gleichung, z.B. y - y’ = 0. Da die Ableitung von e^x wieder e^x ist, wird die Funktion e^x verwendet um Differential-Gleichungen zu lösen.

Jede Gleichung, in der eine Funktion und die Ableitung dieser Funktion gemeinsam auftreten.

f(x) = f’(x), y = y’

✓g(x) = g’(x) + f(x)

✓Sin(x) = d(Sin(x))

✓Sin(x) = Cos(x)

✓e(x) = e(x)

✓e(x) = e’(x)

✓f(x) - f’(x) = 0

✗Wahr

✓Falsch

✗… 1,414

✓… 2,718

✗… 3,141

14.10 Lösen von (Differential)Gleichungen

Gewöhnliche, sowie Differential-Gleichungen werden am Besten und Schnellsten mit einer Mathematik-Software gelöst. Um die Wurzel einer Zahl zu berechnen verwendet man einen Taschenrechner, für das Lösen von Gleichungen entsprechend eine Mathematik-Software. Das ist hier gezeigt.